Уравнение распространения коронавируса |

Предпринимаются попытки описать распространение коронавируса уравнением Ферхюльста. Это все рано что пытаться натянуть сову на глобус… четырехмерный. Ниже будет дано объяснение почему уравнение размножения популяции не подходит для моделирования распространения вируса. Любого вируса и любого инфекционного заболевания.

[mwm-aal-display]

Уравнение Ферхюльста

Уравнение Ферхюльста – это дифференциальное уравнение, которое описывает модель зависимости численности популяции от времени. Казалось бы оно должно идеально подходить для описание распространения вируса, так как распространение вируса – это рост его популяции на кормовой базе (люди). Но если посмотреть на уравнение Ферхюльста видно что оно зависит только от времени и никак не зависит от пространственных координат. А интуитивно и из повседневного опыта понятно, что распространение заболеваемости носит ярко выраженный неравномерный характер, в зависимости от местоположения. То есть, уравнение Ферхюльста можно было бы применять, если бы во всех точках земли заболеваемость развивалась одновременно. Но такого никогда не наблюдается.

Какую модель надо использовать

Если модель Ферхюльста не подходит, то какую модель можно использовать? Напишем исходные требования к модели, исходя из очевидных соображений:

Вероятность контакта должна падать с увеличением расстояния между теми, кто входит в контакт.
Например, вероятность контакта жителя Москвы с жителем Нью-Йорка достаточна мала, а с соседом по лестничной площадке близка к 100%.
Вероятность контакта должна зависеть, совершенно очевидно, не только от расстояния, но и от распределение плотности населения.
Заразить в сибирских лесах просто некого, хотя они находятся на таком же расстоянии от Москвы, как и Мадрид (приблизительно, не проверял. В данном контексте это не важно)
Как показал опыт, по крайней мере коронавирус, по разному распространяется в разных странах, при вроде бы одинаковых условиях проживания, например, в Италии и Германии.

Свойства модели распространения вируса

Даже не зная вида дифференциального уравнения, можно сформулировать требования к свойствам решений этого уравнения.

Совершенно очевидно, что при некоторых начальных условиях (заданных распределениях плотности населения, вероятности контакта от расстояния и вероятности передачи вируса при контакте) должны присутствовать семейство решений очагового характера. Например вирусом переболела только одна деревня или несколько соседних и на этом эпидемия прекратилась.

Свойства дифференциальных уравнений

Даже небольшие изменения в виде дифференциальных уравнений практически всегда приводят к принципиальному изменению вида семейства решений.
Часто выражений для таких функций (в аналитическом виде) просто не существует.
Но это не значит что самих решений не существует!!
Решение для одного уравнения сильно зависит от начальных условий, когда вид семейства функций решения принципиально меняется.

Простейший и понятный всем пример со школы – движение маятника (для простоты на жестком подвесе).

При малых колебаниях это почти гармонические колебания (период колебаний не зависит от амплитуды).
При увеличении амплитуды – движение перестает быть гармоническим колебанием.
В какой-то момент движение может перейти в неравномерное круговое.
- С отдельным выделенным положением и семейством решений – зависание в верхней точки.

Это были описаны случаи для решения простейшего дифференциального уравнения в зависимости от одного начального условия (скорость в нижней точке)

Другим известным примером, является игра “Жизнь”. Это 2-х мерное моделирование развитие вируса исходя из очень простых законов – 0-2 соседей – вирус умирает от от “одиночества”, 3-4 размножается (удваивается), 5-6 просто остается жить, 7-8 умирает от перенаселения. Условия могут меняться.

Так вот, в зависимости от начальной конфигурации вирусов, развитие популяции сильно меняется! Можете поискать в интернете и поиграть.))

Дифференциальное уравнение для распространения эпидемии

Читатели, наверное, уже догадались – раз много текста и нет формул, автор сам не знает этого уравнения. Совершенно верно. То есть, общий вид уравнения понятен, но он совершенно не позволяет его решить. Собственно это локальное уравнение Ферхюльста с дополнительным членом, ответственным за перенос заразившихся, и с зависимостью от пространственных координат:

$\frac{dP(x_0,t)}{dt}=r(x_0,t)P(x_0,t)\left(1 - \frac{P(x_0,t)}{K(x_0)}\right)+\int S(x_0,x) \frac{P(x,t)}{K(x)}{dx}$ Р – локальное количество заразившихся

r – локальный коэффициент заразности, вероятность заразиться при контакте с больным

K – локальное население

S – локальный коэффициент связанности, входящий поток из других точек планеты

Я не знаю, имеет ли это уравнение аналитическое решение даже для “плоского” случая распределения населения и связанности. Но для реального распределения населения и связанности точно нет.

Численное решение уравнения распространения эпидемии

Многие дифференциальные уравнения могут быть решены численными методами. В данном случае это представляется невозможным, так как точно неизвестен параметр r, не известен коэффициент связанности S, особенно перемещения на уровне города.Ну и, вообще говоря, не известно начальное распределение P.

Прогнозирование распространение эпидемии

Может быть сделан прогноз. Но не по времени распространения, а только по конечному результату – сколько всего заразится, и сколько всего умрет. Причем, результат первого параметра, сильно зависит от общего охвата тестирования населения.

На этом вводная лекция “Введение в дифференциальные уравнения эпидемий” закончена. Давайте ваши зачетки.))

© Копирование и перепечатка материалов только с разрешения автора