Парадоксы многомерного пространства

Математические выражения для многомерных объема и площади

Многомерный объем многомерной сферы радиуса r и размерности n равен:

V_n = ∫dx₁ *…*dx_n = ∫r^n-1 * dr * ∫dΩ = rⁿ/n * ∫dΩ (1)

Многомерный объем тонкого многомерного шарового слоя сферы радиуса r и размерности n равен:

dV_n = r^n-1 * ∫dΩ*dr (2)

Откуда легко получается, что многомерная площадь S_n (имеет размерность меньше на единицу) равна:

S_n = r^n-1 * ∫dΩ (3)

Полный многомерный телесный угол Ω_n равен:

Ω_n = ∫dΩ = $$\frac{\mathrm{2\; *}{\pi }^{n/2}}{}$$* $$\frac{\Gamma (n/2),\; где\; \Gamma \; –\; гамма\; функция.(4)}{}$$

Имеются рекурсивные соотношения:

V_n = 2 * $$\frac{{\pi }^{}}{}$$ * $$\frac{{\mathrm{r2/n\; *\; Vn-2}}^{}}{}$$(5)

S_n = 2 * $$\frac{{\mathrm{\pi \; *\; r2/(n-1)\; *\; Sn-2}}^{}}{}$$ (6)

Имеет ли 4-мерная сфера площадь и 5-мерная объем

4-x мерная гиперсфера не имеет… площади! Это кажется невероятным но это так! Но на самом деле, это легко понять.

Наш обычный трехмерный шар или сфера не имеет длины. Или, в каком то смысле, его длина бесконечность. Не возможно шар или сферу обмотать всюду плотно  бесконечно тонкой нитью. Это следствие того, что 3-х мерная сфера состоит из бесконечного количества 2-х мерных окружностей.

4-x мерная гиперсфера состоит из бесконечного количества трехмерных сфер, с бесконечной площадью!

Аналогично, 5-ти мерная сфера не имеет … трехмерного объема, точнее он так же бесконечный! Она состоит из бесконечного количества шаров!

При этом сами длины и площади конечно же существуют в многомерных пространствах. Например, трехмерный куб имеет длину ребра, но, опять-таки, неосмысленно говорить о длине грани!

4-х и 5-ти мерные кубы имею ребра, которые имеют длину, грани, которые имеют площадь, 3 – мерные грани которые имеют объем, и 5-мерный куб имеет 4-х мерные грани.

Нулевой многомерный объем и нулевая многомерная площадь

Если посмотреть на соотношения  (5) и (6) то видно, что начиная с некоторого n они начинают уменьшаться и в пределена на бесконечности они равны нулю! (стреметься к нулю приблизительно как 6/n).

Это еще более странно если вспомнить, что единичный куб, который конечно в объеме не стремится к нулю, а всегда строго равен 1 многомерному объему, вписан в единичную окружность (многомерного радиуса =1)!

понятно, что не зависимо от n, всегда есть такая проекция. Минимальное  расстояние от  квадрата до окружности равно:

1-√2/2

Проекция куба внутри шара будет выглядеть так же. Но это одна из проекций. Можно найти и другую, и на которой расстояние от вершин куба до сферы будет равно:

1-√3/2

Вершины  4-х мерного единичного гиперкуба будет лежать точно на границе 4-х мерной гибперсферы!

1-√4/2 = 0

Со следующего измерения вершины выйдут за пределы гиперсферы и будут удаляться от нее по закону:

√n/2-1

При этом объем гиперкуба будет всегда равен 1 объему гиперпространства! А вот гиперсфера все резче будет “нырять” под грани гиперкуба.

Добраться с границы гиперсферы, центр которой находится в начале координат до этого начала не составляет труда – это всего 1 единица расстояния. Например, если сфера имеет радиус 1 метр, даже если это метр в пространстве с очень большим количеством измерений, то это всего 1 метр.

А вот добраться из вершины гиперкуба, центр которого также расположен в начале координат, до этого на начала “очень трудно”. Например, если ребро гиперкуба имеет длину 1 метр, а пространство имеет 1 000 000 измерений, то расстояние до начала координат равно…. 1 километру!! И это кратчайшее расстояние до начала координат!