Какого цвета классическая Черная дыра?

[latexpage]В своей статье “О теориях относительности” я сделал замечание, что Черные дыры (ЧД) в классической физике, не являются таковыми, так как радиус такой ЧД зависит не только от ее массы, но и от удаления наблюдателя. Более того, в классической физике не существует такого радиуса, за который невозможно “заглянуть”. Мне казалось, что это очень просто следствие из школьного курса физики и тогда по недоразумению, внимание учащихся не обращают на этот факт.

Но оказалось, что это не так.

По крайней мере, у некоторых возникают сложности с простейшими вычислениями, поэтому я напиши математические выкладки по этому вопросу, используя только школьный объем знаний.

[mwm-aal-display]

Радиус Черной дыры

Я не знаю, проходят ли в обычной школе гравитационный потенциал, так как учился в ФМШ. Но Закон всемирного тяготения точно проходят, а так же проходят простейшие интегралы.

Согласно  Закону всемирного тяготения сила притяжения между двумя массами определяется по формуле:

\begin{equation} \label{eq:zak_tyag}
F = G \cdot {m_1 \cdot m_2\over r^2},
\end{equation}

где $F$ – сила, $m_1$ и $m_2$ – массы, $r$ – расстояние между массами (которое много больше геометрических размеров масс, то есть массы точечные), $G$ – гравитационная постоянная.

Если одна из масс будет неподвижна, по тем или иным причинам, а другая переместится по линии, которая проходит через них на небольшое расстояние $dr <<  r$ , то буде произведена работа $dA$:

\begin{equation} \label {}
dA  = G \cdot {m_1 \cdot m_2\over r^2} \cdot dr
\end{equation}

Работа переходит в кинетическую энергию.

Чтобы узнать, сможет ли тело с определенной кинетической энергией улететь на бесконечность из точки r0, надо найти энергию, которую необходимо затратить на преодоления гравитационного взаимодействия. Для этого используется интеграл (проходят в 10(11) классе):

\begin{equation} \label {}
E(r_0) = \int_{r_0}^{\infty } G \cdot  {m_1 \cdot m_2\over r^2}\cdot dr
\end{equation}

Так как $G$, $m1$ и $m2$ не зависят от $r$ их можно вынести из под интеграла:

\begin{equation} \label {}
E(r_0) =  G \cdot m_1 \cdot m_2 \int_{r_0}^{\infty } {dr\over r^2}
\end{equation}
Этот интеграл проходится в рамках школьной программы и он равен:
\begin{equation} \label {}
E(r_0) = – G  \cdot {m_1 \cdot m_2\over r_0}
\end{equation}

Величина $\varphi (r) = – G  \cdot {m \over r}$ является гравитационным потенциалом тела с массой $m$. Так же видна зависимость от расстояния $r$ от тела.

На бесконечном удалении этот потенциал равен нулю.  По мере приближения к телу этот потенциал уменьшается.

Энергию, которое получает тело при перемещении из точки $r1$ в точку $r2$ равна разности гравитационных потенциалов $\varphi (r2) – \varphi (r1)$ умноженному на гравитационный заряд, который равер массе тела $m_0$

То есть:

\begin{equation} \label {}
E = (\varphi (r2) – \varphi (r1)) \cdot m_0
\end{equation}

Потенциал упомянут для того, чтобы было понятно, что можно было взять выражение для него из Википедии скажем и не заниматься выводом. Ну или просто знать и помнить, так как зависимость очень простая!))

Теперь все просто. Найдем до какого радиуса необходимо сжать объект, чтобы любое тело при удалении от на бесконечном расстоянии имело нулевую скорость. То есть, на бесконечности и кинетическая и потенциальная энергия тела равна нулю, следовательно, и на поверхности такого объекта суммарная энергия должна быть равна нулю, то есть:

\begin{equation} \label {}
E_{kin} + E_{pot} = 0
\end{equation}

или

\begin{equation} \label {}
{{ m_0 \cdot v^2} \over 2} – G \cdot {m \cdot m_0 \over r}= 0
\end{equation}

или

\begin{equation} \label {}
{{ m_0 \cdot v^2} \over 2} = G \cdot {m \cdot m_0 \over r}
\end{equation}

Видно что на $m_0$ можно сократить:

\begin{equation} \label {}
{{  v^2} \over 2} = G \cdot {m \over r}
\end{equation}

Радиус, с которого тело с радиальной скоростью $v$ будет на бесконечности иметь нулевую радиальную скорость равен:

\begin{equation} \label {}
r = {2 \cdot G \cdot m \over v^2}
\end{equation}

Если скорость тела на поверхности объекта равна скорости света, то это радиус классической черной дыры:

\begin{equation} \label{eq:rbh}
r_{bh} = {2 \cdot G \cdot m \over c^2}
\end{equation}

Скорость тела на расстоянии R от ЧД

Не на бесконечности, а на удалении $R$ от центрального объекта, тела будут иметь не нулевую скорость,  отличную от нуля, иначе бы они не долетели до бесконечности.)) Эта скорость равна:

\begin{equation} \label{eq:urav}
{c^2 \over 2} – G \cdot {m \over r_{bh}}= 0 ={v^2 \over 2} – G \cdot {m \over R}
\end{equation}

Откуда легко находится:

\begin{equation} \label{}
v = \sqrt{c^2 + 2 \cdot G \cdot m \cdot { ({1 \over R}- {1 \over r_{bh}})}}
\end{equation}

При $R = r_{bh}$ формула дает $v=c$, при $R = \infty , v=0$ (проверка на граничных условиях)

Решение кажется длинным, но в реальности это вывод формулы для гравитационного потенциала. Если знать его вид, а как я ужи писал он очень простой и легко запоминается, можно сразу начинать решение с (\ref{eq:rbh}) и (\ref{eq:urav}) и тогда решение умещается в 2 строчки.

Ну а цвет классической ЧД вовсе не черный. Она имеет  натуральный цвет объекта, который образовал классическую ЧД. Можно даже не тащить в классическую физику разделы физики, которые говорят о том, что ее цвет будет смещен в красную область, так как по мере движения в глубь от границы КЧД, смещение будет уменьшаться и в пределе вовсе пропадет.

Ситуация похожа на реальный эффект, только с обратным знаком. На горизонте горы кажутся голубыми, но, по мере приближения к ним, они “приобретают” свой естественный цвет.

Причемание:

Точно также выглядит и кулоновский потенциал, только вместо массы надо использовать заряд, а вместо гравитационной постоянной – постоянную $k$.