Существует заблуждение, что на поверхности классической черной дыры (ЧД) огромная сила тяжести (здесь и далее = ускорению свободного падения). Но это не так. Сила тяжести огромна для “компактных” черных дыр, например с массой Земли или Солнца.
Также существует заблуждение, что вещество внутри черной дыры очень плотное. В реальности средняя плотность ЧД может быть сколь угодно маленькой. Это можно показать на основе классической физике, так как расчётный радиус ЧД в классической физике и в общей теории относительности совпадает (ОТО).
[latexpage]Эти заблуждения связаны, по всей видимости, с тем, что всегда пытаются сжать объекты – если Землю сжать до размеров… Если Солнце сжать до размеров… В реальности, не существуют природных процессов, которые могли бы сжать Землю. Зато существуют процессы, которые могут увеличить массу и размер Земли, при, по крайней мере, на первых порах, постоянстве плотности – это столкновение и слияние в одну “супер Землю”. Понятно, что для этого нужна ни одна и не две Земли. Далее будет вычислено, на сколько должна увеличиться Земля (при неизменной плотности), чтобы он превратилась в черную дыру.
[mwm-aal-display]
Средняя плотность черной дыры
Распределение плотности внутри черной дыры, конечно при условии сферической симметрии, не оказывает влияние на свойства ЧД. С точки зрения классической физики, совершенно не важно, как распределено вещество – хоть все сконцентрировано в центре (материальная точка), хоть все прижато к “горизонту событий” (тонкостенная сфера). Общая теория относительности же вообще ничего не говорит о состоянии материи внутри ЧД.
Из выражения для радиуса черной дыры (вывод выражения здесь)
\begin{equation} \label{eq:rbh}
r_{bh} = {2 \cdot G \cdot m \over c^2},
\end{equation}
видно, что черной дырой может тело с любой плотностью.
Действительно, если массу тела выразить через его плотность $m=\rho \cdot {4 \over 3} \cdot \pi \cdot r^3 $, то радиус черной дыры равен:
\begin{equation} \label{}
r_{bh} = {2 \cdot G \over c^2} \cdot \rho \cdot {4 \over 3} \cdot \pi \cdot r^3
\end{equation}
Так как $G, \pi, c$ мировые константы, а $\rho$ константа по условиям постановки, потребуем чтобы радиус тела был равен радиусу ЧД $r_{bh} = r$, тогда:
\begin{equation} \label{}
$r_{bh} = {2 \cdot G \over c^2} \cdot \rho \cdot {4 \over 3} \cdot \pi \cdot r_{bh} ^3
\end{equation}
или
\begin{equation} \label{eq:edin}
1 = {2 \cdot G \over c^2} \cdot \rho \cdot {4 \over 3} \cdot \pi \cdot r_{bh}^2
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:r_bh_ro}
\boxed{
r_{bh} = {c \over {\sqrt{ 2 \cdot G \cdot \rho \cdot {4 \over 3} \cdot \pi}}}
}
\end{equation}
Из последнего выражения видно, что для любой плотности тела найдется такой радиус, что тело с такой плотностью будет черной дырой.
Размер черной дыры со средней плотностью равной плотности Земли
Вычислим размер ЧД с земной плотностью.
Чтобы не возиться с плотностью Земли, выразим этот новый радиус через существующий радиус Земли $R_z$ и $g$ – ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Закон всемирного тяготения можно переписать в следующем виде:
\begin{equation} \label {}
F = G \cdot {m_1 \cdot m_2\over r^2} = m_1 \cdot g,
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:g}}
a = G \cdot {M \over R^2},
\end{equation}
где $M$ – масса Земли, $R$ – ее радиус. В свою очередь масса Земли равна:
\begin{equation} \labe {}
M = \rho \cdot {4 \over 3} \cdot \pi \cdot R^3,
\end{equation}
где $\rho$ плотность Земли. Подставляя в (\ref{eq:g}) получаем:
\begin{equation} \label{eq:uskor}
a = G \cdot {\rho \cdot {4 \over 3} \cdot \pi \cdot R}
\end{equation}
откуда
\begin{equation} \label{}
G \cdot {\rho \cdot {4 \over 3} \cdot \pi = {a \over R}
\end{equation}
Подставляя в (\ref{eq:edin}) получаем:
\begin{equation} \label{}
1 = {2 \over c^2} \cdot {a \over R}\cdot r_{bh}^2
\end{equation}
\begin{equation} \label{}
1 = {2 \over c^2} \cdot {a \over R}\cdot r_{bh}^2
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:r_bh_R}
r_{bh} = R \cdot c \cdot \sqrt { 1 \over {2 \cdot a \cdot R} }
\end{equation}
\begin{equation} \label{}
$$ r_{bh} = R \cdot 300’000’000 \cdot \sqrt { 1 \over {2 \cdot 10 \cdot 6’400’000 } } \\
\approx 26’500 R,
\end{equation}
где $a=g=10$ $m/c^2$ – ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Радиус такой черной дыры больше, чем расстояние от Земли до Солнца
Сила тяжести на поверхности классической черной дыры
Сила тяжести в зависимости от плотности классической черной дыры
Подставляя в (\ref{eq:r_bh_ro}) в (\ref{eq:uskor}), получаем:
\begin{equation} \label{}
\boxed{
a = {c \over {\sqrt{ 2}}}{ \cdot {\sqrt{G \cdot \rho \cdot {4 \over 3} \cdot \pi}}}
}
\end{equation}
Видно, что ускорение свободного падения на поверхности классической ЧД, может быть сколь угодно малым, в зависимости от средней плотности ЧД.
Сила тяжести в зависимости от размера классической черной дыры
Из (\ref{eq:rbh}) найдем массу ЧД в зависимости от ее радиуса:
\begin{equation} \label{}
m = {{ c^2 \cdot r_{bh}} \over {2 \cdot G}}
\end{equation}
Подставляя эту массу в (\ref{eq:g}) получаем:
\begin{equation} \label{eq:a_r}
a = { c^2 \over {2 \cdot r_{bh}}
\end{equation}
Также видно, что ускорение свободного падения на поверхности классической ЧД, может быть сколь угодно малым, в зависимости от размера ЧД.
Размер черной дыры с силой тяжести равной g
Вычислим, какого размера должна быть черная дыра, чтобы ускорение свободного падения на ее поверхности была равна $g$. Используя (\ref{eq:a_r}) получаем:
\begin{equation} \label{eq:a_r}
r_{bh} = { c^2 \over {2 \cdot a}
\end{equation}
Подставляя численные значения получаем:
\begin{equation} \label{eq:a_r}
{r_{bh} = { ({3*10^8})^2 \over {2 \cdot 10}} = 4,5\cdot 10^{15}
\end{equation}
в метрах. В световых секундах это равно $1,5 \cdot 10^7$ или $\approx 0,5$ светового года.
На заметку: количество секунд в году с хорошей точностью равно $\pi \cdot 10^7$.
Получается, что размер такой черной дыры равен $1\over 8$ расстояния до ближайшей звезды.
В заключение еще раз обращу внимание, что связь между размером и средней плотность верны, как для классической черной дыры, так и для черной дыры общей теории относительности.
Связь же между ускорением свободного падения на границе ЧД и массой/размером/плотностью ЧД различается.
Но это различие я рассмотрю отдельной статье.