Как я уже писал ранее, парадокс близнецов вовсе не является парадоксом. Этот парадокс получается парадоксом, только потому, что есть диссонанс между симметрией системы и не симметричным результатом. Ниже я покажу, что никакого парадокса нет!
Напомню, симметрию задачи: – каждый близнец может сказать, что это он сидит на месте, а другой шатается непонятно где и возвращается постаревшим.
Вычислим это прямым образом.
Не нарушая общности примем, что близнецы имеют одинаковую массу, что для близнецов вполне естественно. С одной стороны это еще более повысит симметрию задачи, с другой стороны, в инерциальной системе отсчета центра масс (ИСО ЦМ) близнецы всегда будут иметь одинаковую скорость. Можно не использовать равенство масс, но использовать такую систему отсчета, где их скорости равны, но противоположны.
Итак пусть в начальный момент времени t0=0 оба близнеца находятся в одной точке x0=0.
В начальный же момент, одному или обоим близнецам придали некую скорость. Если перейти в ИСО ЦМ (обозначим ее ИСО ЦМ-1), то близнецы будут иметь равные по модулю по противоположные скорости v0.
Используя школьные знания легко можно показать, что в момент времени t1:
| Близнец 1 | Близнец 2 | |
| Координата в ИСО ЦМ | v0*t1 | -v0*t1 |
| Время в ИСО ЦМ | t1 | t1 |
| Координата в собственных системах (для каждого своя) | 0 | 0 |
| Время в собственных системах | γ*t1 | γ*t1 |
где γ -1/√(1 – (v0/c)2)
[box type=”note” align=”aligncenter” class=”” width=””]Изначальное, даже разное ускорение, никак не нарушило симметрию задачи.[/box]
[box type=”info” align=”aligncenter” class=”” width=””]Примечание: как я уже отмечал ранее, тип ускорения, траекторию ускорения его длительность можно вообще исключить из задачи. Для близнецов этого не получится сделать. Но, если вместо близнецов взять световые часы и на время ускорения поставить их на паузу и запустить только тогда, когда они вернутся в точку начала ускорения, но уже с новым вектором скорости, то период ускорения никаким образом не окажет на них влияние.[/box]
Теперь оставаясь в ИСО ЦМ-1 изменим произвольным образом скорость каждого близнеца, но так, чтобы в новой ИСО ЦМ-2 они стали двигаться навстречу друг другу и рано или поздно встретились. Чтобы не усложнять ситуацию, положим, что новые скорости коллинеарны старым.
Так как было показано выше, произвольное ускорение не нарушает симметрию задачи. Теперь переходим новую ИСО ЦМ-2 и снова видим, что оба близнеца имеют одинаковую но противоположную скорость. А значит и собственное время у них будет одинаковым! Все, доказано, что СТО не порождает никакого парадокса близнецов!
[latexpage]
\begin{tikzpicture}
[+preamble]
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=newest}
[/preamble]
\fill[black] (0,0) circle (2pt);
\node[above] at (0,0) {\color{black}$CM$};
\draw[thick, ->, red] (0,0) — (3,0);
\draw[thick, ->, red] (3,0.1) — (1,0.1);
\draw[thick, ->, blue] (0,0) — (-3,0);
\draw[thick, ->, blue] (-3,0.1) — (-2,0.1);
\end{tikzpicture}
… или я что-то упустил? Вернемся на шаг назад в ИСО ЦМ-1, когда только изменили скорости близнецов.
После ускорения, скорости близнецов, в общем случае, перестали быть одинаковыми по модулю.
Но, так как скорости у них будут различны, они встретятся в точке, отличной от нуля, пройдя разное расстояние! Интуитивно понятно, что тот близнец, который имеет большую скорость в ИСО ЦМ-1 пройдет и большее расстояние.
В ИСО ЦМ-1 для каждого близнеца от времени изменения скоростей до момента встречи пройдет одинаковое время t1. Но тогда изменение собственного времени для каждого близнеца будет равно:
dt1 = γ1 * t1 – t1 = t1 * (γ1 – 1), dt2 = γ2 * t2 – t2 = t2 * (γ2 – 1), где γ1, γ2 – гамма факторы для 1 и 2 близнеца соответственно в ИСО ЦМ-1, где они имеют скорости v1 и v2 после ускорения. И эти времена будут, в общем случае, различны!
[box type=”success” align=”aligncenter” class=”” width=””]Таким образом, никакого парадокса близнецов нет, задача не симметрична![/box]
Причем, в какой-то смысле симметрия остается – тот близнец у которого будет большее изменение скорости больше и постареет!
То есть, нет выделенного близнеца, даже если один остался на Земле! Более того, можно сделать так, чтобы тот близнец, который отправился в путешествие с Земли постарел больше! Как? – Ну вроде совершенно понятно – путешествующий близнец должен иметь меньшее изменение скорости, например, исключив скорость суточного вращения Земли или и годового обращения вокруг Солнца! Так что, как говорится, не все так однозначно, а все относительно! ))
Также оставшийся на Земле близнец останется более молодым, если он бросится в погоню за 1-м путешествующим близнецом (то есть, с большей скоростью), а 1-й не будет менять свою скорость.
[box type=”info” align=”aligncenter” class=”” width=””]Задание для самостоятельной работы.
Почему в одном случае произвольное ускорение и изменение скорости не влияют на симметрию системы, в другом оказывает влияние?[/box]
Это финальная статья по теории относительности. Больше ничего интересного для обсуждения в ней не имеется.